I. SUITES, EXEMPLES DE SUITES.
Une suite, en mathématiques, est un ensemble d’éléments (nombres par exemple) classés dans un certain ordre.
Par exemple, les nombres entiers forment une suite infinie :
(0) 1 2 3 4 5 6 7 …........................
De même les nombres pairs :
(0) 2 4 6 8 10 12 14 16.....................
Souvent, au lieu de définir l’ensemble en extension, on se donne quelques nombres et une loi de composition.
Par exemple pour les nombres entiers on peut se donner :
Le premier chiffre : 1
La loi de composition : Un nombre de la suite est obtenu en ajoutant 1 à son prédécesseur.
Pour les nombres pairs :
Le premier chiffre : 2 ou 0
La loi de composition : Un nombre de la suite est obtenu en ajoutant 2 à son prédécesseur.
Certaines suites ont des lois de composition plus compliquées. Par exemple, la suite de Fibonacci proprement dite :
Les deux premiers chiffres sont 1 puis 1
La loi de composition : Un nombre est obtenu en faisant la somme de ses deux prédécesseurs directs.
On a donc :
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 …..............
Autre exemple : « Les nombres de Lucas »
Les deux premiers chiffres sont 2 puis 1
La loi de composition est la même que pour la suite de Fibonacci.
D’où :
2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 ….........
II .SUITES CONVERGENTES ET NON-CONVERGENTES.
Dans les exemples donnés jusqu’à présent, les suites sont non-convergentes, c’est à dire que les termes deviennent de plus en plus grands sans limite.
Considérons maintenant une autre suite, associée à celle des nombres entiers, mais dont le terme général est un nombre de la suite des nombres entiers divisé par son prédécesseur immédiat, on obtient :
2/1 3/2 4/3 5/4 6/5 ….....................24/23 …..............
Il est facile de montrer que plus on s’éloigne dans les termes, plus ils tendent vers une limite (jamais atteinte) qui est 1 ici. On dit que cette suite est convergente. Vous pourrez vérifier que la suite associée aux nombres pairs :
4/2 6/4 8/6 10/8 12/10.......................24/22 ….......
est aussi convergente avec la même limite 1.
Pour la suite associée de la même façon à celle de Fibonacci proprement dite :
1/1 2/1 3/2 5/3 8/5 13/8 …................89/55 ….............
on peut démontrer qu’elle est convergente avec pour limite :
N est un nombre irrationnel et incommensurable appelé « Nombre d’or » (Ne pas confondre avec celui de l’astronomie !).
On peut montrer, de la même façon, que la suite associée à la suite des nombres de Lucas :
3/1 4/3 7/4 …..............76/47.........
est convergente vers la même limite N. C’est aussi une « suite de Fibonacci » (généralisation)
III. ILLUSTRATION GRAPHIQUE DE LA SUITE DE FIBONACCI : « SPIRALE » DE FIBONACCI.
Traçons deux petits carrés d’un cm de côté soudés par un côté.Jouxtant ces 2 carrés je peux tracer un carré de 2cm de côté. Ensuite si je trace un carré qui longe le carré de 2 cm de côté et un des 2 carrés de 1 cm de côté , ce sera un carré de 3x3 etc.......On pave le plan avec des carrés de plus en plus grands dont les mesures des côtés sont les nombres de la suite de Fibonacci.
Si on joint par une courbe les coins des carrés successifs, on obtient un genre de spirale dite « spirale de Fibonacci ». En réalité ce n’est pas une spirale au sens mathématique du terme.
IV. LEONARDO PISANO (LÉONARD DE PISE) DIT FIBONACCI.
Il est né à Pise, vers 1170. Il rejoint très jeune son père à la colonie de Bujiana (Plus tard Bougie) en Algérie où ce dernier est responsable du bureau des douanes pour le compte de l’ordre des marchands de Pise. Léonard s’initie à l’art du calcul indo-arabe et a contact avec plusieurs mathématiciens arabes. Vers 1200, il retourne à Pise et réalise pendant 25 ans des travaux pour rassembler, mettre à jour et développer ses connaissances. On dispose de copies de 4 documents écrits de sa main (on est avant l’invention de l’imprimerie).
On peut estimer que c’est lui qui a popularisé en Europe la numérotation indo-arabe. En dialecte pisan, fibonacci signifie fils de Bonacci (ou Bonaccio). Il meurt vers 1245 à Pise.
Après lui la recherche mathématique ne connut pas de nouvelles envolées de tout le moyen-âge.